бесплатно рефераты скачать
  RSS    

Меню

Быстрый поиск

бесплатно рефераты скачать

бесплатно рефераты скачатьКурсовая работа: Измеримые множества

Курсовая работа: Измеримые множества

Мера ограниченного открытого множества

В теории функций вещественной переменной большую роль играет понятие меры точечного множества, обобщающее понятие длины промежутка, площади прямоугольника, объема параллелепипеда и т.д. В этой главе мы изложим теорию измерения линейных ограниченных точечных множеств, принадлежащую А.Лебегу.

Так как наиболее простой структурой обладают открытые множества, то естественно начать именно с них.

Определение 1. Мерой интервала (a, b) называется его длина, т.е. b - a. Это число обозначается так:

m (a, b) = b - a

Очевидно, что всегда m (a, b) > 0.

Лемма 1. Если в интервале D содержится конечное число взаимно не налегающих интервалов d1, d2, ..., dn, то

Д о к а з а т е л ь с т в о.  Пусть D = (A, B), dk = (ak, bk) (k = 1, 2, …, n).

Не нарушая общности, можно считать, что интервалы dk перенумерованы в порядке возрастания левых концов, т.е. что

a1 < a2 < … < an.

Но тогда, очевидно, bk £ ak+1 (k = 1, 2, …, n - 1), ибо иначе интервалы dk и dk+1 налегали бы друг на друга. Поэтому сумма

Q = (B - bn) + (an - bn-1) + … + (a2 - b1) + (a1 - A)

не отрицательна. Но очевидно, что  , откуда и следует лемма.

Следствие. Если на интервале D лежит счетное множество взаимно не налегающих интервалов dk (k = 1, 2, 3, …), то

.

[Имея дело с положительным расходящимся рядом, мы приписываем ему сумму, равную + ¥; поэтому всякий положительный ряд имеет некоторую сумму. Неравенства k< C (положительного ряда) гарантирует его сходимость.]

Определение 2. Мерой mG непустого открытого ограниченного множества G называется сумма длин  всех его составляющих интервалов  dk:

 (Не зная, конечно или счетно множество {dk}, мы будем употреблять обозначение dk, подразумевая, смотря по обстоятельствам, под этим символом k  или  k.)

В силу вышеотмеченного следствия,

mG< + ¥

Если  множество G пусто, то мы , по определению, полагаем

mG=0,

так что всегда mG³0.

Если D есть интервал, содержащий в себе открытое множество G, то

mG £  mD,

что вытекает из того же следствия.

Пример (Канторово множество G0). Построение Канторова множества G0 состояло из ряда последовательных шагов.

На первом шагу брался интервал (1/3, 2/3) длины 1/3. На втором шагу к нему присоединялись два интервала: (1/9, 2/9) и (7/9, 8/9), длины 1/9 каждый.

На третьем шагу присоединялись еще четыре интервала, длины 1/27 каждый и т.д.

Таким образом

mG0 =

Суммируя по известной формуле эту прогрессию, получаем

mG0 = 1.

Теорема 1. Пусть G1 и  G2  два ограниченных открытых множества. Если  G1 Ì  G2, то

mG1 £  mG2.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть di (i = 1, 2, …) и Dk (k = 1, 2, …) суть, соответственно, составляющие интервалы множеств G1 и  G2.

В силу теоремы 4, § 5, гл.II, каждый из интервалов di  содержится в одном (и только одном) из интервалов Dk.

Поэтому множество {di} можно разбить на ряд взаимно не пересекающихся подмножеств А1, А2, А3,…, относя di в Аk в том случае, когда di Ì Dk.

Тогда, пользуясь известными свойствами двойных рядов, мы можем написать

.

Но, в силу следствия леммы 1,

, откуда ,

что и требовалось доказать.

Следствие. Мера открытого ограниченного множества G есть точная нижняя граница мер всевозможных открытых ограниченных множеств, содержащих G.

Теорема 2. Если открытое ограниченное множество G является суммой конечного числа или счетного множества взаимно не налегающих открытых множеств

,

то

.

Это свойство меры называется полной аддитивностью.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть  (i = 1, 2, …) суть составляющие интервалы множества Gk. Покажем, что каждый из них является составляющим интервалом суммы G.

В самом деле, то обстоятельство, что G, очевидно. Остается убедиться, что концы интервала  не принадлежат G. Допустим, что, например, правый конец интервала  принадлежит G. Тогда этот правый конец (обозначим его через m) должен принадлежать какому-нибудь из слагаемых множеств. Пусть m Î Gk'. (Очевидно k¢ ¹ k, ибо множеству Gk точка m заведомо не принадлежит.) Но множество Gk¢ открыто и, стало быть, точка m принадлежит одному из составляющих интервалов этого множества m Î di¢(k¢). Однако это влечет за собой то, что интервалы di(k)  и di¢(k¢)  пересекаются, последнее же противоречит условию Gk Gk¢= 0.

Итак, действительно, каждый из di(k) есть составляющий интервал множества G. С другой стороны, каждая точка G принадлежит хоть одному di(k) . Наконец, все эти интервалы различны. Таким образом, множество

           (i = 1, 2, …;   k = 1, 2, …)

есть множество всех составляющих интервалов суммы G.

Установив это, уже легко закончить доказательство:

=

что и требовалось доказать.

Для того чтобы перенести теорему (соответственно изменить ее) на случай суммы  п е р е с е к а ю щ и х с я  слагаемых, нам понадобятся две простые леммы.

Лемма 2. Пусть сегмент [P, Q] покрыт конечной системой  Н интервалов (l, m ). Тогда

Д о к а з а т е л ь с т в о. Выделим из системы Н некоторую ее часть Н*, которая строится следующим образом: обозначим через (l1,) какой-нибудь из интервалов системы H, содержащих точку P

l1 < P < m1

(хоть один такой интервал существует). Если  окажется, что m1>Q, то интервал (l1, m1) , и составляет требуемую систему H* . Если же m1Q, то m1Î[P, Q], и можно в системе H найти интервал ( l2, m2), содержащий точку m1 ,

l2 <  m1 < m2

Если окажется, что m2>Q, то процесс окончен, и интервалы (l1, m1) и ( l2, m2) и составляют систему Н*.

Если же m2Q, то m2Î[P, Q], и можно в системе H найти интервал ( l3, m3), содержащий m2.

l3 <  m2 < m3

Если m3>Q, то процесс закончен, а если m3Q, то продолжаем наш процесс.

Но ведь множество H по условию конечно, а наш процесс состоит в выделении из H все новых и новых интервалов, ибо

m1 <  m2 < m3 < …

Поэтому процесс обязательно должен закончится, а конец его состоит в том, что какая-то из точек mk окажется лежащей правее точки Q.

Пусть mn>Q, но mn-1£Q, т.е. процесс заканчивается после n-го шага.

Тогда интервалы (l1, m1), ( l2, m2), … , (ln, mn) и составляют систему H. При этом lk+1<mk (k = 1, 2, … , n-1).

Значит

а так как mn - l1 > Q – P, то Q – P < , откуда и подавно

Q – P < .

Лемма 3. Пусть интервал D есть сумма конечного или счетного множества открытых множеств

D = .

Тогда

mD.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть D = (A, B) и пусть составляющие интервалы множества Gk суть di(k) (i = 1, 2, …).

Возьмем положительное число e (0 < e < ) и рассмотрим сегмент , содержащийся в  интервале D.

Этот сегмент покрыт системой интервалов di(k) (i = 1, 2, …; k = 1, 2, …). Применяя к этой системе теорему Бореля о конечном покрытии из § 2, гл. II, мы получим некоторую конечную систему

         (s = 1, 2, … n),

покрывающую сегмент . В силу предыдущей леммы, , откуда и подавно

B – A - 2e < .

Так как число e произвольно мало, то

B – A ,

и лемма доказана.

Теорема 3. Если открытое ограниченное множество G является суммой конечного числа или счетного множества открытых множеств Gk, G = , то

mG.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть Di (i = 1, 2, …) суть составляющие интервалы суммы G. Тогда mG = .

Но  откуда, в силу леммы 3, и, стало быть,

     

               (*)

С другой стороны

При этом (что является здесь основным) отдельные слагаемые правой части взаимно не пересекаются (потому что  при i¹i`). Значит, мы находимся в условиях применимости теоремы 2, а потому

                                                         

                   (**)

Сопоставляя (*) и (**), мы и получаем теорему.

Мера ограниченного замкнутого множества

Пусть F непустое ограниченное замкнутое множество и S наименьший сегмент, содержащий множество F. Как известно, множество CSF открыто и поэтому имеет определенную меру m[CSF]. Это дает возможность установить следующее определение.

Определение 1. Мерой непустого ограниченного замкнутого множества F называется число

где S=[A, B] есть наименьший сегмент, содержащий множество F.

Для пустого замкнутого множества меру определять не нужно, ибо такое множество открыто и мерой его мы уже условились считать число 0. Кроме того, непустое замкнутое ограниченное множество не может оказаться открытым множеством, так что нет надобности ставить вопрос о связи определений меры открытого и замкнутого множества.

Рассмотрим некоторые примеры.

1. F=[a, b]. В этом случае, очевидно, S=[a, b] и CsF=0, так, что m [a, b] = b – a, т. е. мера сегмента равна его длине.

2. F есть сумма конечного числа попарно не пересекающихся сегментов

Можно считать, что сегменты перенумерованы в порядке возрастания левых концов; тогда, очевидно,

         (k=1, 2, … n-1),

откуда следует, что

      

Стало быть,

т.е. мера суммы конечного числа попарно не пересекающихся сегментов равна сумме длин этих сегментов.

     3. Пусть (Канторово совершенное множество). В этом случае

  и   откуда

т.е. Канторово совершенное множество  имеет меру нуль. Этот факт интересно сопоставить с тем, что мощность множества  есть с.

    Теорема 1. Мера ограниченного замкнутого множества F не отрицательна.

    Д о к а з а т е л ь с т в о.  Действительно, если пользоваться обозначениями определения 1, то очевидно Ì (А, В), и по теореме 1,  откуда и следует, что

    Лемма. Пусть F ограниченное замкнутое множество, содержащееся в интервале D, тогда

D- [ CDF]

     Д о к а з а т е л ь с т в о. Множество CDF – открыто, так что лемма имеет смысл. Пусть D=(A, B), а наименьший сегмент, содержащий множество F, есть S=[a, b] (рис.1.).

     Тогда легко видеть, что СDF=CDS+CsF.

                  

Рис. 1

     Оба слагаемые правой части открыты и взаимно не налегают. Значит, по свойству аддитивности меры (теорема 2) будет m[CDF]=m[CDS]+m[CsF].

     Но, очевидно,CDS = (A,  a) + (b,  B), откуда

                                m[CD] = (a-A) + (B-b),

и следовательно,

                           m[CDF]=(B-A)-(b-a)+m[CsF],

что и доказывает лемму.

     Теорема 2. Пусть F1 и F2 два ограниченных замкнутых множества. Если F1Ì F2, то mF1£ mF2.

      Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть D есть интервал, содержащий множество F2. Тогда легко проверить, что СDF1  É CDF2, и, стало быть, m[CDF1 ]  [ CDF2 ], так что дело сводиться к предыдущей лемме.

Следствие. Мера ограниченного замкнутого множества F есть точная верхняя граница мер всевозможных замкнутых множеств, содержащихся в F.

Теорема 3. Пусть F замкнутое множество, а G открытое ограниченное множество. Если FÌ G, то mFmG.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть D есть интервал, содержащий множество G. Легко видеть, что D= G+CDF, откуда, в силу теоремы 3, получаем, что mDmG + m[CDF], и дело сводится к лемме.

Теорема 4. Мера открытого ограниченного множества G есть точная верхняя граница мер всевозможных замкнутых множеств, содержащихся в G.

Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу предыдущей теоремы, mG есть точная граница мер замкнутых множеств FÌG, и надо доказать, что меры этих замкнутых множеств  могут быть сколь угодно близки к mG.

Пусть составляющие интервалы множеств G суть(lk, mk ) (k=1, 2, …), так что mG = (mk - lk).

Возьмем произвольное e > 0 и найдем столь большое натуральное n, чтобы оказалось mk - lk)> mG - .

Затем для каждого k (k=1, 2, …, n) найдем такой сегмент[ak, bk], чтобы было

[ak bk,] Ì (lk, mk), m[ak, bk] > m(lk, mk) -,

(для чего достаточно взять такое hk, что

0 < hk < min[, ]

и положить ak = lk+hk, bk =mk - hk). Положим, наконец,

F0= k, bk].

Тогда, очевидно, F0 Ì G, F0 замкнуто и

mF0=(bk-ak) > (mk-lk) - > mG - e.

Так как e произвольно мало, то теорема доказана.

Теорема 5. Мера замкнутого ограниченного множества F есть точная нижняя граница мер всевозможных открытых ограниченных множеств, содержащих F.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Как и выше, достаточно показать, что можно построить открытое ограниченное множество, содержащее множество F и имеющее меру, сколь угодно близкую к mF.

Страницы: 1, 2, 3


Новости

Быстрый поиск

Группа вКонтакте: новости

Пока нет

Новости в Twitter и Facebook

  бесплатно рефераты скачать              бесплатно рефераты скачать

Новости

бесплатно рефераты скачать

© 2010.